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Winkel,

 

1) Mathematik: elementarer mathematischer Begriff; 1) ebener Winkel, ein Gebiet der Ebene oder die Neigung zweier Linien zueinander. Zur Messung von Winkeln dienen verschiedene Winkelmaße, die auf der Teilung des Vollkreises in gleiche Winkeleinheiten beruhen. Gesetzliche Einheiten des ebenen Winkels sind als Bogenmaß die SI-Einheit Radiant (Einheitenzeichen rad), als Gradmaß das Grad (Einheitenzeichen º) und das Gon (Einheitenzeichen gon) sowie der Vollwinkel (1 Vollwinkel = 2 π rad = 360º = 400 gon). Nichtgesetzliche Einheiten sind der artilleristische und der nautische Strich.

 

Als Gebiet der Ebene ist ein Winkel als eines der vier Winkelfelder definiert, in die die Ebene durch zwei sich schneidende Geraden zerlegt wird, d. h. als der Durchschnitt zweier, von je einer der beiden Geraden bestimmten Halbebenen. Bei der Definition des Winkels als Neigung zweier Linien zueinander muss beachtet werden, ob ein ungeordnetes oder ein geordnetes Paar zweier sich schneidender Geraden (beziehungsweise Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt) in einer (durch ein Koordinatensystem) orientierten oder nicht orientierten Ebene vorliegt; z. B. sind in einer unorientierten Ebene die Winkel α und 360 — α nicht unterscheidbar. Des Weiteren soll der Winkelbegriff auch die Messung von Umdrehungen ermöglichen, also Winkel über 360º umfassen. Entsprechend werden der elementargeometrische, der goniometrische, der stereogeometrische, der analytisch-geometrische und der analytische Winkelbegriff der Analysis unterschieden. Ein Winkel ist immer durch zwei Halbgeraden a und b mit dem gemeinsamen Anfangspunkt S gegeben; die Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels, S sein Scheitel oder Scheitelpunkt. Winkel bezeichnet man im Allgemeinen mit kleinen griechischen Buchstaben α, β, γ,. .., mit ∢ (a, b) oder (falls A ein Punkt auf a und B ein Punkt auf b ist) mit ∢ ASB. Der elementargeometrische Winkel ist der Winkel eines ungeordneten Paares von Halbgeraden in unorientierter Ebene; seine Größe liegt im Gradmaß zwischen 0º und 180º. Der goniometrische Winkel ist durch ein geordnetes Halbgeradenpaar in einer orientierten Ebene gegeben; er kann als Winkel mit Scheitel im Mittelpunkt eines Kreises (vom Radius 1) aufgefasst werden und wird im Bogenmaß von 0 bis 2π gemessen. Stereometrische Winkel treten zwischen zwei sich schneidenden ungeordneten Geraden in unorientierter Ebene auf und werden von zwei jeweils auf einer der beiden Geraden liegenden Halbgeraden gebildet; im Gradmaß gemessen sind sie zwischen 0º und 90º bestimmt. Analytisch-geometrische Winkel sind zwischen einem sich schneidenden geordneten Geradenpaar (a, b) in einer orientierten Ebene als goniometrischer Winkel von geordneten Paaren (a', b' ) von Halbgeraden definiert, wobei a' auf a und b' auf b liegt. Sie werden durch die Tangensfunktion gemessen. Der analytische Winkelbegriff entspricht dem goniometrischen auf einer zugrunde liegenden unendlich blättrigen Überlagerung der Ebene und ermöglicht die Betrachtung von (Umlauf-)Winkeln im Bereich von — ∞ bis + ∞. Die analytischen Winkel bilden eine geordnete Gruppe. Sie können somit unbeschränkt addiert und subtrahiert werden und treten in der Analysis als Argumente der Winkelfunktionen auf.

 

Ein ebener Winkel, dessen Schenkel zusammenfallen und dessen Winkelfeld die gesamte Ebene umfasst, heißt Vollwinkel (α = 360º), der dazu komplementäre Winkel Nullwinkel (α = 0º). Bei einem gestreckten Winkel bilden die beiden Schenkel eine Gerade (α = 180º). Zwei Winkel, die einen Schenkel gemeinsam besitzen und sich zu einem gestreckten Winkel ergänzen, heißen Nebenwinkel (α + β = 180º), und ein Winkel, der ebenso groß ist wie sein Nebenwinkel, heißt rechter Winkel (α = β = 90º; Zeichen oder ȃ). Ein spitzer Winkel ist kleiner (0º α 90º), ein stumpfer Winkel größer (90º α 180º) als sein Nebenwinkel und jeder Winkel, der größer als ein gestreckter Winkel und kleiner als ein Vollwinkel ist, heißt überstumpf (180º α 360º). Zwei Winkel, die sich zu einem rechten Winkel ergänzen, heißen Komplementwinkel. Die am Schnittpunkt zweier Geraden liegenden Nebenwinkel heißen auch Supplementwinkel; die sich dort gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß und heißen Scheitelwinkel. Werden zwei Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, so entstehen Stufenwinkel.

 

2) räumlicher Winkel, Raumwinkel.

 

 2) Mess- und Fertigungstechnik: das Winkelmaß.