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Geschwindigkeit,

 

Formelzeichen v, allgemein eine als Maß für die Schnelligkeit einer Bewegung dienende physikalische Größe. In der Mechanik ist die Geschwindigkeit bei der geradlinig gleichförmigen, unbeschleunigten Bewegung eines Körpers oder Massenpunktes gleich dem Quotienten aus der von diesem zurückgelegten Wegstrecke Δs und der dazu benötigten Zeitspanne Δt; in diesem einfachsten Fall ändert die Geschwindigkeit v = Δs / Δt weder ihre Richtung noch ihren Wert (v = const). Bei einer geradlinig ungleichförmigen Bewegung, bei der dieser Quotient lediglich die Durchschnittsgeschwindigkeit (mittlere Geschwindigkeit) während der Zeitspanne Δ t angibt, erhält man die Augenblicks- oder Momentangeschwindigkeit als den Grenzwert des Quotienten Δs / Δt für Δt → 0, d. h. als den Differenzialquotienten v = ds / dt, die Ableitung des Weges nach der Zeit. - Zur Charakterisierung der Geschwindigkeit gehört neben ihrem so definierten Betrag auch ihre Richtung; die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe. Bezeichnet man mit s die gerichtete Wegstrecke, so gilt v = ds / dt oder, wenn man mit r = r (t) den zum jeweiligen Ort des Körpers oder Massenpunktes weisenden, zeitabhängigen Ortsvektor bezeichnet,

 

(die Ableitung nach der Zeit t wird im Allgemeinen durch einen Punkt symbolisiert). Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors v ist die augenblickliche Bewegungsrichtung des Körpers beziehungsweise Massenpunktes; sie fällt mit der Richtung der jeweiligen Bahntangente (Einheitsvektor dr / ds) zusammen:

 

(dabei ist s die von einem Anfangspunkt aus gemessene Bogenlänge). Man bezeichnet den Betrag der Geschwindigkeit v = ds / dt auch als Bahngeschwindigkeit; er bleibt bei jeder Richtungsänderung konstant, bei der die zu dr / ds proportionale Bahnbeschleunigung (Beschleunigung) null ist. - Die vom Ortsvektor r im Zeitintervall dt überstrichene Fläche F wird durch den Betrag von dF =¹/₂ [r × dr] gegeben. Man bezeichnet die Größe dF / dt =¹/₂ [r × v] =¹/₂ L / m als Flächengeschwindigkeit des Körpers beziehungsweise Massenpunktes (L sein Drehimpuls, m seine Masse).

 

Die Geschwindigkeit wird im Allgemeinen in Bezug auf ein festes Koordinatensystem, z. B. das geographische Koordinatensystem (Erdoberfläche), gemessen und dann auch als Absolutgeschwindigkeit bezeichnet; im Gegensatz zur Relativgeschwindigkeit v_rel = v₁ — v₂, mit der sich zwei Körper beziehungsweise Massenpunkte gegeneinander bewegen (v₁, v₂ ihre Absolutgeschwindigkeit). Bei Verwendung rechtwinkliger Koordinaten x, y, z im festen Bezugssystem werden die Komponenten der Geschwindigkeit in x-, y- und z-Richtung durch v_x = ẋ (t), v_y = ẏ (t), v_z = ż (t) gegeben, der Betrag der Geschwindigkeit ist dann

 

Bei krummlinigen Bewegungen ist es oft zweckmäßig, die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten darzustellen. Erfolgt die Bewegung in einer Ebene (Normalenvektor n), so erhält man bei Einführung von ebenen Polarkoordinaten r, ϕ und des Einheitsvektors e_r = r / r für die Geschwindigkeit den Ausdruck

 

wobei die in Richtung des Ortsvektors r weisende Geschwindigkeitskomponente v_r = ṙ (t) als Radialgeschwindigkeit, die dazu senkrechte Geschwindigkeitskomponente v_ϕ = r (t) als Azimutalgeschwindigkeit sowie = dϕ / dt = ω als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet wird. Der Betrag der Flächengeschwindigkeit ist dann durch dF / dt =¹/₂ r gegeben. Speziell bei einer kreisförmigen Bahn mit dem Radius r stimmt die Azimutalgeschwindigkeit v_ϕ = ω r wegen r = 0 mit der Bahngeschwindigkeit überein. - Wird eine krummlinige Bewegung im Raume in räumlichen Polarkoordinaten r, ϑ, ϕ beschrieben, so lauten in diesem die Geschwindigkeitskomponenten v_r = ṙ (t) und v_ϑ = r (t) und v_ϕ = r (t); der Betrag der Geschwindigkeit ist dann

 

die Komponenten v_ϑ und v_ϕ werden gelegentlich als Meridiankreis- beziehungsweise Breitenkreisgeschwindigkeit bezeichnet.

 

In der Wellenlehre unterscheidet man bei der Ausbreitung von Wellen als Ausbreitungs- oder Fortpflanzungsgeschwindigkeit die Phasengeschwindigkeit, mit der sich eine Wellenfläche konstanter Erregung ausbreitet, und die Gruppengeschwindigkeit, mit der sich der Schwerpunkt einer endlich ausgedehnten Wellengruppe und damit die im Wellenfeld enthaltene Energie fortpflanzt. Spezielle Ausbreitungsgeschwindigkeiten sind die Lichtgeschwindigkeit bei elektromagnetischen Wellen und die Schallgeschwindigkeit bei Schallwellen.

 

In der Raumfahrt sind die wichtigsten Geschwindigkeiten die Kreisbahngeschwindigkeit, die Fluchtgeschwindigkeit und die dritte kosmische Geschwindigkeit.

 

Nach der Relativitätstheorie bildet die Vakuumlichtgeschwindigkeit c₀ ≈ 299 792 km/s die natürliche obere Grenze aller überhaupt möglichen Geschwindigkeiten, mit denen Materie oder Energie sich bewegen beziehungsweise ausbreiten kann. Dagegen können Phasengeschwindigkeiten größer als diese Geschwindigkeit sein. - Die Geschwindigkeiten zweier Körper, Teilchen oder Wellengruppen, die sich gegeneinander bewegen, addieren sich vektoriell, wenn sie klein gegen c₀ sind, hingegen nach dem relativistischen Additionstheorem der Geschwindigkeit (Relativitätstheorie), wenn ihre Beträge mit c₀ vergleichbar sind.

 

Die Geschwindigkeitsmessung kann elementar als Längen- und Zeitmessung erfolgen, z. B. mithilfe von Geräten der Kurzzeitmesstechnik, bei Fahrzeugen mit unterschiedlichen Geschwindigkeitsmessern, bei Teilchen mit Flugzeitspektrometern (Flugzeitmethode). Daneben werden auch indirekte Methoden angewendet, die auf dem Doppler-Effekt beruhen (z. B. Radarverfahren). Die Messung von Fließ- und Strömungsgeschwindigkeit erfolgt entweder über eine Bestimmung des zur Geschwindigkeit proportionalen Durchflusses durch einen Querschnitt, z. B. mithilfe von Flügelradanemometern, oder mit Schalenkreuzanemometern (bei Windgeschwindigkeit), Hitzdraht- und Laser-Doppler-Anemometern. Dynamische Verfahren beruhen auf der Bernoulli-Gleichung und bestimmen die Strömungsgeschwindigkeit aus dem kinetischen Druck mithilfe von Prandtl-Rohren. - Gesetzliche Einheit der Geschwindigkeit ist die abgeleitete SI-Einheit Meter durch Sekunde (Einheitenzeichen: m/s), auch jeder andere Quotient, der aus einer gesetzlichen Längen- und einer gesetzlichen Zeiteinheit gebildet wird, z. B. die Einheiten cm/s und km/h; in der See- und Luftfahrt wird der Knoten (kn), in der Luftfahrt bei Überschallflug als Vergleichsgröße auch die Mach-Zahl (Ma) verwendet. Für die Umrechnung gilt: 1 m/s = 3,6 km/h; 1 kn = 1,852 km/h; 1 Ma entspricht in Bodennähe ungefähr 340 m/s ≈ 1 225 km/h. Für die Winkelgeschwindigkeit verwendet man die Einheit rad/s oder s^-1.