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Kreisel,

 

Physik: in einem Punkt festgehaltener, sonst frei beweglicher starrer Körper, der um diesen Punkt (Rotationszentrum) Drehbewegungen ausführt. Der schon im Altertum bekannte Spielkreisel ist daher kein Kreisel im physikalischen Sinn, da seine Spitze nicht in einem Punkt festgehalten wird, sondern auf einer Fläche frei beweglich ist. In der Umgangssprache wird die Bezeichnung Kreisel meist auf starre Körper mit Rotationssymmetrie eingeengt.

 

Ein für die Art der Bewegung eines Kreisels und deren mathematische Beschreibung wesentlicher Begriff ist der des Trägheitsellipsoids (Trägheitstensor), das im allgemeinsten Fall drei verschiedene Hauptachsen, d. h. drei verschiedene Hauptträgheitsmomente besitzt. Ein Körper mit rotationssymmetrischer Massenverteilung besitzt ein rotationssymmetrisches Trägheitsellipsoid, dessen eine Hauptachse mit der Symmetrieachse, der Figurenachse, zusammenfällt; daneben besitzt er unendlich viele, zur Figurenachse senkrechte äquatoriale Hauptachsen, die alle gleich lang sind. Ein solcher Körper wird als symmetrischer Kreisel bezeichnet, speziell als verlängerter Kreisel, wenn die Hauptachse des Trägheitsellipsoids längs der Figurenachse länger ist als die äquatorialen Hauptachsen, das Trägheitsmoment um die Figurenachse also kleiner ist als um die äquatorialen, als abgeplatteter dagegen im umgekehrten Fall. Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal richtet sich danach, ob an dem Kreisel äußere Drehmomente angreifen oder nicht. Im ersten Fall handelt es sich um einen kräftefreien Kreisel, der z. B. durch Unterstützung eines abgeplatteten Kreisels in dessen Schwerpunkt realisiert werden kann, um den sich der Kreisel auch dreht (kleinscher Kreisel). Eine andere Möglichkeit der Realisierung eines kräftefreien Kreisels besteht in dessen kardanischer Aufhängung, wenn die Masse des kardanischen Gehänges gegen die des Kreisels vernachlässigt werden kann; die hierbei verwendeten Kreisel sind ebenfalls häufig abgeplattet (Gyroskop). Als schwerer Kreisel wird ein Kreisel bezeichnet, wenn der feste Punkt, um den er sich dreht, vom Schwerpunkt verschieden ist und der Kreisel der Schwerkraft unterliegt. Bei der Bewegung eines kräftefreien Kreisels sind die Energie und der Drehimpuls L konstant. Die durch die Richtung von L festgelegte Drehimpulsachse durch den Schwerpunkt behält unveränderlich ihre Richtung im Raum bei; sie fällt jedoch im Allgemeinen weder mit der Figurenachse des Kreisels noch mit der durch den Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω festgelegten momentanen Drehachse zusammen. Während beim Zusammenfallen dieser Achsen eine reine Rotation um die Figurenachse erfolgt, ergibt sich als allgemeine Bewegungsform die reguläre Präzession, bei der die Figurenachse und die Drehachse eine kreisende Bewegung (auf Kegelmänteln) um die raumfeste Drehimpulsachse ausführen, wobei die Spitzen der Kegel jeweils im Mittelpunkt des Trägheitsellipsoids des Kreisels liegen. Den von der Figurenachse mit konstanter Umlaufsgeschwindigkeit beschriebenen Kreiskegel bezeichnet man als Präzessionskegel, den von der momentanen Drehachse beschriebenen als Rastpolkegel (Spur- oder Herpolhodiekegel). Betrachtet man die Bewegung der momentanen Drehachse vom Kreisel aus, so beschreibt sie den Gangpolkegel (Lauf- oder Polhodiekegel), der - bei der Bewegung der Figurenachse auf dem Präzessionskegel - auf dem Rastpolkegel abrollt. - Beim kräftefreien unsymmetrischen Kreisel sind diese Kegel keine Kreiskegel mehr, nur der Rastpolkegel ist geschlossen, die anderen sind es im Allgemeinen nicht mehr.

 

Für die Bewegung eines Kreisels gelten die eulerschen Bewegungsgleichungen (eulersche Kreiselgleichungen)

 

 

Dabei sind J_x, J_y, J_z die Hauptträgheitsmomente für den festen Punkt, ω_x, ω_y, ω_z die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit des Kreisels und N_x, N_y, N_z die Komponenten des gesamten Drehmoments längs der Hauptachsen des Trägheitsellipsoids; der Punkt bedeutet die Ableitung nach der Zeit. Die Identifizierung einer der Hauptachsen des Trägheitsellipsoids mit der z-Achse ist dabei völlig willkürlich; die beiden anderen Achsen werden dann im Sinne eines Rechtssystems festgelegt. Diese Gleichungen vereinfachen sich für den kräftefreien Kreisel durch den Wegfall der Drehmomentkomponenten. In dieser Form können die Gleichungen unter Berücksichtigung der Konstanten der Bewegung (Energie und Drehimpuls) mithilfe elliptischer Funktionen vollständig integriert werden. Eine geometrische Beschreibung der Bewegung ohne vollständige Lösung des Problems ermöglicht die poinsotsche Konstruktion.

 

Bei der Einwirkung äußerer Kräfte beziehungsweise Drehmomente auf einen mit entsprechenden Freiheitsgraden gelagerten Kreisel treten charakteristische Erscheinungen auf: Ein genügend schnell rotierender Kreisel weicht dem Versuch, ihn um eine zu seiner momentanen Drehachse senkrechte Achse zu drehen, mit einer Drehung um eine zu dieser Achse senkrechte Achse aus, was sich z. B. bei einem kardanisch aufgehängten Kreisel als Widerstand gegen das angewendete Drehmoment bemerkbar macht. Bei einem schweren symmetrischen Kreisel wird dieses Drehmoment durch die Schwerkraft auf den Kreisel ausgeübt. Dies führt dazu, dass die Figurenachse nicht nur in einem festen Drehsinn um die Vertikale durch den Unterstützungspunkt fortschreitet (Präzession), sondern dass sich der Winkel zwischen der Figurenachse und der Vertikalen auch periodisch zwischen zwei Grenzwinkeln ändert. Diese Bewegung wird als Nutation bezeichnet. Bei genügend schneller Rotation des Kreisels (schneller schwerer Kreisel) ist diese Nutation nur als schwache Zitterbewegung oder fast gar nicht wahrzunehmen; man spricht dann von pseudoregulärer Präzession. Unter bestimmten Anfangsbedingungen kann der schwere symmetrische Kreisel auch eine strenge reguläre Präzession ausführen.

 

Das Beharrungsvermögen der Drehimpulsachse eines kräftefreien Kreisels und der Widerstand, den er einem senkrecht zu dieser Achse wirkenden Drehmoment bietet, werden zu Navigationszwecken ausgenutzt, z. B. mit dem Kreiselkompass, dem Kreiselhorizont (künstlicher Horizont) und bei der Trägheitsnavigation. In der Ballistik wird die Kreiselwirkung zur Geschossstabilisierung genutzt, indem man dem Geschoss einen Drall erteilt.

 

Auch die Erde ist ein Kreisel, der wegen der Abplattung an den Polen, der Neigung seiner Rotationsachse und der Gravitationswirkung von Sonne und Mond nicht völlig kräftefrei ist (Nutation, Präzession).

Kreisel,

 

Georg, britisch-amerikanischer Logiker, * Graz 15. 9. 1923; Studium in Cambridge (Kontakt mit L. Wittgenstein), seit 1960 Professor in Paris, ab 1964 an der Stanford University; einer der prominentesten Vertreter der mathematischen Logik, zu deren Disziplinen er zahlreiche Beiträge lieferte. Am bekanntesten sind seine Arbeiten über die Rekursionstheorie und zur beweistheoretischen Interpretation des Intuitionismus.