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Mengenlehre,

 

mathematische Theorie, die sich mit den Eigenschaften von und den Beziehungen zwischen Mengen beschäftigt. Die Mengenlehre bildet heute die Grundlage fast aller mathematischen Gebiete; sie ermöglicht es, einen einheitlichen Aufbau der Mathematik auf der Basis einiger weniger Grundprinzipien durchzuführen. Disziplinen wie etwa Topologie, Maßtheorie und abstrakte Algebra sind ohne die Mengenlehre kaum vorstellbar.

 

Man unterscheidet naive (nichtaxiomatische) und axiomatische Mengenlehre. Die naive Mengenlehre legt die auf G. Cantor zurückgehende Definition von Menge zugrunde. Es zeigte sich schon bald, dass die uneingeschränkte Verwendung dieser Definition zu (logischen) Antinomien führt (russellsche Antinomie). Aus dieser Einsicht heraus entstand die axiomatische Mengenlehre. Für viele praktische Zwecke hat sich allerdings der naive Mengenbegriff durchaus als ausreichend erwiesen. Die axiomatische Mengenlehre baut die Mengenlehre ausgehend von Axiomen auf, wobei möglichst viele Aussagen der naiven Mengenlehre ihre Geltung behalten sollen. Die bekanntesten Axiomensysteme beruhen auf der Prädikatenlogik erster Stufe (Logik) und unterscheiden sich v. a. danach, ob sie neben dem Mengen- auch den Klassenbegriff verwenden. Das Axiomensystem ZF von E. Zermelo und A. Fraenkel kennt nur den Mengebegriff; das System NBG von J. von Neumann, K. Gödel und P. Bernays kennt auch Klassen, betrachtet sie aber als Objekte, mit denen man nur eingeschränkt arbeiten kann, während das System KM von J. L. Kelly and A. P. Morse ihnen nur verbietet, Elemente weiterer Klassen zu sein. Einen anderen, stufentheoretisch orientierten Ansatz vertraten B. Russell und A. N. Whitehead.

 

Alle derzeit bekannten Axiomensysteme der Mengenlehre können jedoch eine Reihe wichtiger mathematischen Fragen nicht klären, wie etwa die Kontinuumshypothese. Deswegen sucht man intensiv nach neuen, auch in der naiven Mengenlehre bisher nicht verwendetetn Grundprinzipien, mit denen sich solche offenen Probleme lösen ließen. Wichtige Kandidaten dafür sind z. B. »Axiome großer Kardinalzahlen« genannte Forderungen nach der Existenz ganz besonders umfangreicher Mengen oder auch als »Determiniertheitsaxiome« bezeichnete Forderungen nach einer gewissen Übersichtlichkeit bestimmter Arten von Mengen reeler Zahlen.

 

Geschichte:

 

Die Mengenlehre wurde von Cantor in den 70er- und 80er-Jahren des 19. Jahrhunderts entwickelt, ausgehend von Fragen der Analysis über den Charakter bestimmter Punktmengen. Marksteine in der Entwicklung der Mengenlehre waren Cantors Beweise für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen (1873) und die Gleichmächtigkeit von Einheitsquadrat und -intervall (1877). Seine Konstruktion des nach ihm benannten Diskontinuums gilt als erstes bedeutendes Ergebnis der mengentheoretischen Topologie. Bald schon regte sich Widerstand gegen die neue, als zu abstrakt empfundene Theorie, der in L. Kronecker einen einflussreichen Wortführer fand. Die von Russell 1902 veröffentlichte Antinomie zeigte, dass die auf G. Frege zurückgehenden Prinzipien der Mengenbildung einer Präzisierung bedurften. Einen Versuch, diese zu liefern, stellt die axiomatische Mengenlehre dar. Auch die von L. E. J. Brouwer angeführten Intuitionisten lehnten die Mengenlehre ab. In den 1930er- und 1940er-Jahren wurden große Fortschritte bei der Axiomatisierung erzielt. Die von dem Unternehmen Bourbaki herausgegebenen »Éléments de mathématique« (1939 ff.) stellten die Mathematik konsequent in der Mengensprache dar. 1963 konnte P. Cohen die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von den Axiomen der Mengenlehre zeigen und damit ein auf Cantor zurückgehendes Problem lösen. Mitte des 20. Jahrhunderts ist zur Mengenlehre die Kategorientheorie hinzugetreten. Die Opposition v. a. seitens der »Konstruktivisten« gegen die Mengenlehre ist nie ganz verstummt. Von Einfluss war die Mengenlehre in den 1970er-Jahren im Schulunterricht (neue Mathematik).

 

Literatur:

 

A. A. Fraenkel: Abstract set theory (Amsterdam ⁴1976);

 A. A. Fraenkel: u. a.: Foundations of set theory (Neuausg. ebd. 1984);

 W. Felscher: Naive Mengen u. abstrakte Zahlen, 3 Bde. (1978-1979, Bd. 1 Nachdr. 1989);

 

M., hg. v. U. Felgner (1979);

 W. Purkert u. H. J. Ilgauds: Georg Cantor (Neuausg. Basel 1987).