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Hexadezimalsystem

 

[von gr. hexa, »sechs« und lat. decem, »zehn«] (Sedezimalsystem), Zahlensystem zur Basis 16. Eine Hexadezimalzahl (Hexzahl) wird wie in anderen Zahlensystemen (Binärsystem, Dezimalsystem) aus Ziffern aufgebaut, deren Position innerhalb der Zahl ihre Wertigkeit wiedergibt. Die am weitesten rechts stehende Ziffer entspricht dabei der Einerstelle, die darauf folgende Ziffer der Sechzehnerstelle, die nächste der 256er-Stelle usw. Die Reihenfolge der hexadezimalen Ziffern ist wie im Dezimalsystem aufsteigend und beginnt bei null. Da unsere Ziffernschreibweise allerdings nur die Zahlsymbole 0 bis 9 kennt, verwendet man im Hexadezimalsystem die Buchstaben A bis F, um die (dezimalen) Zahlen 10 bis 15 zu kennzeichnen. Die Dezimalzahl 35 entspricht demnach der Hexadezimalzahl 23, umgekehrt entspricht die Hexadezimalzahl 35 der dezimalen 53.

 

Um deutlich zu machen, dass eine bestimmte Zahl eine Hexadezimalzahl ist, hat sich v. a. im Computerbereich eingebürgert, den Kleinbuchstaben »h« an die Zahl anzuhängen (23h, A0h). Dies entspricht allerdings nicht der Schreibweise nach DIN, nach der die Zahl durch »16$« eingeleitet werden muss (16$23, 16$A0). Diese Darstellung wird zwar auch verwendet, aber - DIN-widrig - nur auf das Dollarzeichen verkürzt ($23, $A0). Besonders bei der Kennzeichnung von Registeradressen gibt es auch noch die Schreibweise mit dem Präfix »0x« (also 0x23, 0xA0).

 

Mit Hexadezimalzahlen kann man Speicher- und Registeradressen sehr kompakt schreiben, denn die Zahlenbasis 16 ist ein Vielfaches der binären Basis 2, auf der alle in den Registern stehenden Daten aufgebaut sind (Binärzahlen). Vor allem aber entsprechen 2 Byte gerade 16, also 10h verschiedenen Werten, 4 Byte entsprechend 100h. Die letzte Adresse eines 1 MByte (2¹⁰ Byte) großen Speicherbereichs lautet in hexadezimaler Schreibweise damit FFFFFh, in dezimaler lautet sie dagegen 1 048 575.

 

Noch vor wenigen Jahren konnten die in den Mikro-Chips enthaltenen Register, also die Speicher, in denen die Operationen in Maschinensprache durchgeführt werden, nur acht Bits speichern. Daher verwendet man hier überwiegend Oktalzahlen (Zahlen zur Basis 8). Für manche Operationen benötigte man jedoch 16 bit große Speicher und fasste daher zwei Register zu einem zusammen. Durch das stetige Anwachsen der Leistungsfähigkeit moderner Mikro-Chips wurden bald 16 bit breite Register notwendig, heute sind 32-bit-Register die Norm und auch 64-bit-Register sind keine Seltenheit mehr. Im Zuge dieser Änderungen wurde das Hexadezimalsystem auch für die handliche Benennung von Registern übernommen. Eine weitere Änderung auf ein Zahlensystem zur Basis 32 oder 64 ist wegen der Unhandlichkeit dieser Systeme nicht zu erwarten.

 

Berechnungen innerhalb von Hexadezimalzahlen werden genauso durchgeführt wie bei Dezimalzahlen, allerdings muss man nun mit den zusätzlichen »Ziffern« A bis F rechnen. Es gibt zwei Methoden, um eine Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl umzurechnen, wobei einmal die Hexzahl von der niedrigsten zur höchsten Stelle aufgebaut wird, im anderen Fall aber von der höchstwertigen zur niedrigsten.

 

Im ersten Fall teilt man die Dezimalzahl fortwährend durch 16. In der Regel werden dabei Dezimalzahlen mit Ziffern vor und nach dem Komma (der Divisionsrest) auftreten. Bei jedem Rechenschritt wandelt man den Divisionsrest in eine Hexzahl um, indem man ihn mit 16 multipliziert. Daraufhin wird im nächsten Schritt der Vorkommaanteil des Ergebnisses durch 16 dividiert usw. Die Rechnung wird beendet, sobald vor dem Komma eine Null steht. Der nun bleibende Rest ist die höchstwertige Ziffer der Hexzahl.

 

Die Umwandlung der Zahl 61 405 führt so zu dem ersten Zwischenergebnis 3837,8125, der Divisionsrest mit 16 multipliziert ergibt 13. Die Hexziffer mit dem niedrigsten Wert ist damit D. Im nächsten Rechenschritt teilt man 3837 durch 16 und erhält 239,8125. Wie vorher entspricht der Rest (wiederum 13) der Hexziffer, die nun die zweitniedrigste Wertigkeit (die »Zehnerstelle«) bekommt. Die Hexzahl lautet bis jetzt DD. Die Division des Vorkommaanteils 239 durch 16 liefert das Ergebnis 14,9375. Als Divisionsrest erhält man den Wert 15, also die Hexziffer F. Die verbleibende Vorkommazahl 14 liegt bereits unter 16, daher ist dies die letzte Hexziffer (E). Das Ergebnis der Rechnung beträgt somit EFDDh.

 

Die zweite Rechenmethode wird oft von Programmierern eingesetzt, die im Umgang mit Hexzahlen vertraut sind. Bei ihr teilt man die Ausgangszahl durch die nächste kleinere Potenz von 16. Im obigen Beispiel (61 405) wäre dies die Zahl 16³ bzw. 4096. Nun entspricht der Vorkommaanteil des Ergebnisses 14,9915 der höchstwertigen Hexziffer E. Der Divisionsrest wird mit 4096 multipliziert und liefert 4061. Diese Wert wird wieder durch die nächstkleinere Potenz von 16 (16² bzw. 256) geteilt, was auf die zweite Hexziffer F führt. Der Divisionsrest 0,8633 liefert nach Multiplikation die Zahl 221d, die nun durch 16 geteilt auf das Zwischenergebnis 13,8125 führt. Der Vorkammanteil ist die nächste gesuchte Hexziffer, D, während der Divisionsrest, multipliziert mit 16 ebenfalls 13 und damit D ergibt. Das Ergebnis entspricht also völlig der früheren Methode. Diese zweite Methode besitzt jedoch den Vorteil, das ein Programmierer den ersten Exponent der Zahl 16 (im Beispiel die 3) abprüfen und weitere Programmaktionen, etwa die Bereitstellung von mehr Speicherplatz, veranlassen kann.

 

Die Umrechnung von Hexzahlen in Dezimalzahlen ist ebenfalls einfach. Jede Ziffer der Hexdezimalzahl wird entsprechend ihrer Wertigkeit mit einem Vielfachen von 16 multipliziert. Danach werden die einzelnen Ergebnisse aufsummiert. Die Hexadezimalzahl 10 815h rechnet man demnach um, indem man die Summe aus 1 × 16⁴ + 0 × 16³ + 8 × 16² + 1 × 16¹ + 5 × 16⁰ bildet, also aus 65536 + 0 + 2048 + 16 + 5, was zum Ergebnis 67 605 führt.

 

Aufgrund der Bedeutung von Hexzahlen besitzen die meisten Programmiersprachen Funktionen, mit denen Hexzahlen in Binär- und Dezimalzahlen umgewandelt werden können.

Hexadezimalsystem,

 

Sedezimalsystem, Sechzehnersystem, Stellenwertsystem mit der Grundzahl 16; als Zahlzeichen verwendet man die Ziffern 0 bis 9 und weiter folgend die Buchstaben A bis F (entsprechen den Zahlen 10 bis 15 im Dezimalsystem). Es ist dann z.B.

 

 

Das Hexadezimalsystem wird häufig in der Datenverarbeitung angewandt, da viele Anlagen mit 4-Bit-Kombinationen (so genannte Tetraden; z. B. 1001, 1100) zur Darstellung von Zeichen arbeiten. Es gibt 16 solcher Vierergruppen, d. h., man kann 16 verschiedene Zeichen und somit alle Zahlzeichen des Hexadezimalsystems verschlüsseln.