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Quạntenmechanik,

 

die nichtrelativistische Quantentheorie der Bewegung und Wechselwirkung mikrophysikalischer Systeme, wie Elementarteilchen, Atome und Moleküle. Die Beschränkung auf den nichtrelativistischen Bereich beinhaltet, dass die auftretenden Geschwindigkeiten klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind und die Wechselwirkungsenergien klein gegen die Ruhemassen der Teilchen (Relativitätstheorie). Die Quantenmechanik ist hiernach eine Theorie mikrophysikalischer Systeme, in denen die Zahl der Teilchen mit von null verschiedene Ruhemasse erhalten bleibt und die einzig möglichen Erzeugungs- und Vernichtungsprozesse Emission und Absorption von Photonen sind. Sie wurde ursprünglich zur widerspruchsfreien Erklärung der aus Experimenten an und mit Atomen gewonnenen Resultate entwickelt, auf die sich die klassische Physik nicht anwenden lässt, ohne zu unauflösbaren Widersprüchen zu führen, und die v. a. auf dem in der Mikrophysik auftretenden Welle-Teilchen-Dualismus beruhen. In ihrer heutigen Form ist die Quantenmechanik v. a. auch die Theorie der Atom- und Molekülphysik, mit einer für viele Zwecke und Anwendungsbereiche ausreichenden Genauigkeit, und als solche die theoretische Grundlage für Disziplinen wie Quantenchemie, Festkörper- und Kernphysik.

 

Die Quantenmechanik unterscheidet sich von der klassischen Mechanik wesentlich dadurch, dass in ihr physikalische Variablen nicht, wie in dieser, gewöhnliche Zahlen mit kommutativer Multiplikation sind (so genannte c-Zahlen), sondern Operatoren mit im Allgemeinen nichtkommutativer Multiplikation (q-Zahlen; Vertauschungsrelationen), insbesondere hermitesche Operatoren für beobachtbare Variablen (Observable). Während in der klassischen Mechanik der Zustand eines physikalischen Systems genau dann eindeutig bestimmt ist, wenn die tatsächlichen Werte eines vollständigen Satzes von Observablen bekannt sind, trifft dies in der Quantenmechanik nur für Werte der (im Allgemeinen verschiedenen) Einschränkungen dieses Satzes auf kommensurable, d. h. gleichzeitig beliebig genau messbare Observable zu (heisenbersche Unschärferelation). Insbesondere können in der Quantenmechanik für Paare kanonisch konjugierter Observablen, z. B. für Ort und Impuls eines Teilchens, nur die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte dieser Observablen angegeben werden. Hierin zeigt sich ein wesentliches und unabdingbares statistisches Element der Quantenmechanik. Während in der klassischen Mechanik somit allein die Observablen für die Beschreibung eines Zustands ausreichen, benötigt man in der Quantenmechanik eine Vorschrift, wie bei einem gegebenen Zustand die möglichen Werte der Observablen zu ermitteln sind und für diese Werte die Wahrscheinlichkeiten. Klassisch genügt im Prinzip eine einmalige Messung der jeweiligen Observablen zur Bestimmung eines Zustands, quantenmechanisch muss dafür eine Messung an einem Ensemble von Systemen oder viele Male an dem gleichen System vorgenommen werden. Der Menge aller Zustände eines Quantensystems werden die Elemente eines abstrakten, im Allgemeinen unendlich-dimensionalen linearen Raumes, des Hilbert-Raumes, als Zustandsvektoren zugeordnet und nach P. Dirac durch ein »Ket«-Symbol |αα dient zur Kennzeichnung des eindeutig bestimmten Zustands). Die für experimentell verifizierbare Aussagen der Quantenmechanik wesentliche Größen, die Matrixelemente, erhält man durch Anwendung eines Operators Ω von links auf ein Ket |αββ| (Bildung des Skalarprodukts). Von den so entstehenden Klammerausdrücken em>β|Ω|αΩ leiten sich die Bezeichnungen Bra und Ket her (englisch bracket, »Klammer«). Aus den Matrixelementen kann man die die jeweilige physikalische Situation kennzeichnenden und messbaren Größen wie Erwartungs- und Eigenwerte von Operatoren und Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen verschiedenen Zuständen ableiten.

 

Die Eigenwerte ω_i eines hermiteschen Operators Ω, die man aus der Lösung des Eigenwertproblems (mit den Eigenkets |iΩ |iω_i |iErwartungswert em>ωΩ in einem beliebigen (normierten) Zustand |αωα|Ω|αBeziehung zwischen Eigen- und Erwartungswerten beruht auf dem für die Quantenmechanik fundamentalen Superpositionsprinzip, nach dem die Summe zweier Kets (Zustände) wieder ein Ket (einen Zustand) ergibt: |αβγαk