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Symmetrie

 

[lateinisch-griechisch »Ebenmaß«, zu griechisch sýmmetros »gleichmäßig«] die, -/...'tri|en,  

 1) allgemein: Spiegelungsgleichheit, wechselseitige Entsprechung von Teilen in Bezug auf Größe, Form oder Anordnung; übertragen auch: Ausgewogenheit, harmonische Zuordnung mehrerer Teile.

 

 2) Biologie: Bei nahezu allen pflanzlichen und tierischen Organismen lassen sich Symmetrien nachweisen. Morphologisch erkennbare Symmetrien können im Wesentlichen durch die klassischen Grundformen der Symmetrie beschrieben werden, wobei man zwischen drei Symmetrieformen unterscheiden kann: Longitudinalsymmetrie (Metamerie), bei der entlang einer Linie Elemente in immer gleicher Orientierung und gleichen Abständen aufgereiht sind; Longitudinalsymmetrie findet sich z. B. beim Skolopender oder in der Gliederung eines Fiederblattes. Bei der Radiär- oder Rotationssymmetrie werden die Symmetrieelemente durch Drehung um eine Symmetrieachse zur Deckung gebracht. Beispiele dafür sind u. a. Virus-capside, Blattwirtel und Blüten, Fruchtkörper vieler Pilze, Korallen, Seeigel, Seesterne. Bei rd. 95 % aller Tierarten findet sich die dritte Symmetrieform, die Bilateral- oder Spiegelsymmetrie. Bilateralsymmetrische Organismen können durch eine Ebene (Medianebene, Sagittalebene) in zwei spiegelbildlich gleiche Hälften zerlegt werden, während die senkrecht zur Medianebene liegende Transversalebene (Frontalebene) keine Symmetrieebene darstellt, da Rücken- und Bauchseite verschieden voneinander sind; auch der Körper des Menschen ist weitgehend bilateralsymmetrisch gebaut; bei Pflanzen sind es die meisten Blattorgane und die zygomorphen Blüten (Orchideen, Lippenblütler, Rachenblütler u. a.). Häufig kommen auch Kombinationen der verschiedenen Symmetrieformen vor.

 

 3) Kunst: Neben der Achsensymmetrie von Körperdarstellungen und Fassadengliederungen treten in bildender Kunst und Architektur Translationen (Wiederholungen mit regelmäßigem räumlichem Rhythmus) und Kombinationen verschiedener Symmetriearten auf. So verbindet das griechische Palmettenmuster Translation und Spiegelung, manche Ornamente zeigen longitudinale Spiegelung an der Mittellinie, Flächenornamente doppeltunendlicher Rapport (z. B. die geometrische Ornamentik der arabischen Alhambra, das chinesische Fenstergitterwerk). In der Architektur treten bei Kapitellen, Kuppeln und Türmen Rotationssymmetrien auf (Baptisterium und Turm von Pisa, die oktogonale Zentralsymmetrie des Aachener Doms), bei Fensterrosen die Zentralsymmetrie.

 

Literatur:

 

S. in Kunst, Natur u. Wiss., bearb. v. B. Krimmel, 3 Bde., Ausst.-Kat. (1986);

 E. H. Gombrich: Das forschende Auge. Kunstbetrachtung u. Naturwahrnehmung (1994);

 W. Hahn: S. als Entwicklungsprinzip in Natur u. Kunst (Neuausg. 1995).

 

 4) Mathematik: Eigenschaft eines mathematischen Raumes beziehungsweise Objektes, beschrieben durch eine Menge von eineindeutigen, strukturerhaltenden Abbildungen auf diesem Raum, die bezüglich des »Hintereinanderausführens« eine Automorphismengruppe (Automorphismus) des Raumes bilden. Ursprünglich bezieht sich der Begriff Symmetrie auf Kongruenzeigenschaften geometrischer Figuren. Z. B. bildet ein ebenes Dreieck mit seinem durch einen Punkt O gespiegelten Bild eine punktsymmetrische Figur in Bezug auf den Symmetriepunkt (das Symmetriezentrum) O; zwei zueinander kongruente, durch Spiegelung an einer Achse x aufeinander abbildbare ebene Dreiecke stellen eine achsensymmetrische Figur bezüglich der Symmetrieachse x dar. In beiden Fällen bilden die zueinander inversen Spiegelungen zusammen mit der identischen Abbildung auf der Ebene eine Punkt- beziehungsweise Achsensymmetrie kennzeichnende Automorphismengruppe der Ebene. Neben Punkt- beziehungsweise Achsensymmetrie existiert in höherdimensionalen Räumen u. a. die Ebenensymmetrie, beschrieben durch Automorphismengruppen, deren Abbildungen eine Ebene als Symmetrieelement, d. h. als Fixpunktebene (Fixelement), besitzen und bei denen alle anderen Punkte des Raumes so abgebildet werden, dass diese Ebene immer senkrecht zur Verbindungslinie zwischen Punkt und Bildpunkt steht. Es gibt zahlreiche weitere Symmetrietypen wie die Zentralsymmetrie einer Ellipse oder eines Parallelogramms, die Radialsymmetrie des regelmäßigen n-Ecks (jeweils in Bezug auf den Mittelpunkt) oder die Rotationssymmetrie einer Kugel bezüglich jeder durch ihren Mittelpunkt verlaufenden Achse. (Spiegelung)

 

 5) Physik: eine Eigenschaft von Objekten, physikalischen Zuständen oder Naturgesetzen, die vorliegt, wenn diese nach Anwendung bestimmter mathematischer Transformationen (Symmetrietransformationen) wieder ihre ursprüngliche Form besitzen (Invarianz). Man unterscheidet zwischen räumlichen Symmetrietransformationen (z. B. Spiegelungen, Drehungen oder Translationen) sowie inneren Symmetrietransformationen, die auf abstrakten physikalischen Räumen (z. B. dem Hilbert-Raum der quantenmechanischen Wellenfunktionen) wirken. Symmetrien unter raumzeitabhängigen Transformationen werden als Eichsymmetrien oder Eichinvarianzen bezeichnet.

 

Eine andere Unterscheidung wird zwischen diskreten Symmetrietransformationen (z. B. Spiegelungen, Drehungen um bestimmte Winkel oder Ladungskonjugation) und kontinuierlichen Symmetrietransformationen (z. B. Drehungen um beliebige Winkel oder infinitesimale Phasentransformationen von Wellenfunktionen) getroffen. Mathematisch betrachtet, bilden die Symmetrietransformationen eine algebraische Gruppe (Symmetriegruppe); bei kontinuierlichen Symmetrietransformationen bildet die zugehörige Symmetriegruppe eine Lie-Gruppe. Unter diskreten räumlichen Transformationen entstehende symmetrische Objekte sind z. B. die Kristalle mit der Invarianz ihres Raumgitters gegen gewisse Symmetrieoperationen, bestimmte Moleküle und die äußere Regelmäßigkeit kristalliner Formen der Materie.

 

Von besonderer Bedeutung sind die Symmetrien von Naturgesetzen, da sie deren mathematische Formulierung sehr vereinfachen. Nach dem noetherschen Theorem führen kontinuierliche Symmetrien in Naturgesetzen zu den entsprechenden Erhaltungssätzen. So folgen die Sätze über die Erhaltung der Energie, des Impulses und des Drehimpulses aus der kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems unter zeitlicher Translation, räumlicher Translation beziehungsweise räumlicher Drehung, der Satz über die Erhaltung der elektrischen Ladung aus der inneren Symmetrie unter Phasentransformationen. Weiter erlauben es die Symmetrien der Naturgesetze (sofern sie nicht spontan gebrochen sind, Symmetriebrechung), physikalische Zustände nach den Darstellungen der zugehörigen Symmetriegruppe zu klassifizieren. Z. B. können wegen der (fast exakten) Drehsymmetrie der Kräfte zwischen Kern und Hüllenelektron des Wasserstoffatoms die Zustände des Elektrons nach der orthogonalen Darstellung O(3) der Drehgruppe klassifiziert und bestimmten Werten des Bahndrehimpulses zugeordnet werden (Quantenzahl).

 

Es gehört zu den Aufgaben der Elementarteilchenphysik, nach den grundlegenden inneren Symmetrien der Naturgesetze zu suchen. Einerseits können damit die verschiedenen Elementarteilchen in Darstellungen von Symmetriegruppen zusammengefasst (z. B. bilden Proton und Neutron ein Isospindublett, Nukleonen) und die Raten verschiedener Streu- und Zerfallsprozesse miteinander in Beziehung gebracht werden. Andererseits folgt aus dem Auftreten von Eichsymmetrien die Existenz von Eichfeldern und daraus die durch den Austausch von Feldquanten erzeugte Wechselwirkung der Materie. Sowohl der starken Wechselwirkung als auch der elektroschwachen Wechselwirkung (Glashow-Salam-Weinberg-Theorie) liegen Eichsymmetrien zugrunde.

 

Literatur:

 

E. Schmutzer: S.n u. Erhaltungssätze der Physik (Berlin-Ost ²1979);

 H. Weyl: S. (Basel ²1981);

 H. Genz: S. - Bauplan der Natur (1987);

 H. Genz: u. R. Decker: S. u. Symmetriebrechung in der Physik (1991);

 T. Mayer-Kuckuk: Der gebrochene Spiegel. S., Symmetriebrechung u. Ordnung in der Natur (Basel 1989);

 A. Zee: Mag. S. Die Ästhetik in der modernen Physik (a. d. Amerikan., Neuausg. 1993).