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Raum,

 

1) Mathematik: im engeren Sinn und in der Elementargeometrie ein sich in drei Dimensionen (Länge, Breite, Höhe) ohne feste Grenzen ausdehnendes Gebiet (Anschauungsraum); im weiteren Sinn jede mit einer bestimmten Struktur versehene Menge X von Elementen, die eine Abstraktion beziehungsweise Verallgemeinerung des gewöhnlichen Anschauungsraums darstellt (abstrakter Raum). Dem Anschauungsraum nahe kommt der dreidimensionale euklidische Raum ℝ³. Er ist definiert als die Menge der Tripel (x, y, z) reeller Zahlen (Koordinaten), die den Punkten des Anschauungsraums zugeordnet sind, zusammen mit einer Definition des Abstandes jeweils zweier Punkte. Ausgehend vom ℝ³ gelangt man zum n-dimensionalen euklidischen Raum ℝⁿ, wenn man als Menge X die Menge aller n-Tupel (x₁, x₂,. .., x_n) reeller Zahlen zugrunde legt und jedes n-Tupel mit einem Punkt P des Raums identifiziert; auch hier bezeichnet man die x₁, x₂,. .., x_n als Koordinaten des Punktes P. Analog zur Abstandsmessung im ℝ³ definiert man den Abstand zweier Punkte P und P ' (Koordinaten x₁, x₂,. .., x_n und x'₁, x'₂,. .., x'_n) im ℝⁿ durch

 

Führt man in einem abstrakten Raum einen Abstandsbegriff, eine Metrik, ein, so erhält man einen metrischen Raum. Der ℝⁿ lässt sich darüber hinaus mit der Struktur eines Vektorraumes versehen; eine Verallgemeinerung führt vom ℝⁿ zum Begriff des abstrakten Vektorraums oder linearen Raums, dessen Dimension nicht mehr endlich sein muss. Dies ist z. B. der Fall in einem Vektorraum, dessen Elemente geeignete Funktionen sind; ein solcher wird im Allgemeinen als Funktionenraum bezeichnet (Funktionalanalysis).

 

Aus der Grundmenge X aller n-Tupel gelangt man zum n-dimensionalen (reellen) affinen Raum Aⁿ (ℝ), indem man die Produktmenge X ☓ X folgendermaßen auf einen n-dimensionalen Vektorraum Vⁿ abbildet: a) Jedem Punktepaar (P, Q) wird eindeutig ein Vektor ∈ Vⁿ zugeordnet, wobei zu jedem Punkt P und jedem Vektor a ∈ Vⁿ genau ein Punkt Q mit = a existiert. b) Für jedes Punktetripel (P, Q, R) gilt:

 

Mithilfe einer Basis von Einheitsvektoren des Vⁿ lassen sich dann für jeden Punkt des Aⁿ eindeutig n-Tupel (x₁,. .., x_n ) von reellen Zahlen als seine auf einen festen Punkt, den Koordinatenursprung, bezogenen Koordinaten bezüglich dieser Basis einführen. Durch Hinzunahme einer Hyperebene kann jeder affine Raum zu einem (n-dimensionalen) projektiven Raum Pⁿ (ℝ), auch mit Πⁿ bezeichnet, erweitert werden (projektive Geometrie).

 

Von den bisher betrachteten Typen von Räumen zum Teil völlig verschieden sind die topologischen Räume als Mengen T mit einer Struktur, die Konvergenz- und damit Stetigkeitsbetrachtungen gestattet. - Eine Verbindung zwischen linearen und topologischen Räumen schafft der Begriff des topologischen Vektorraums, wofür zwischen beiden Arten von Strukturen (Vektorraum sowie topologischer Raum) als Verträglichkeitsbedingung die Stetigkeit von Vektoraddition und skalarer Multiplikation gefordert wird. Solche speziellen Räume sind die normierten topologischen Vektorräume und die Hilbert-Räume sowie die Banach-Räume.

 

Geschichte:

 

Der Raumbegriff der Mathematik blieb von der Antike bis ins 19. Jahrhundert hinein an die Dreidimensionalität gebunden. Auch die in vielerlei Hinsicht wichtige Unterscheidung zwischen unendlichen Raum und unbegrenzten Raum blieb weitgehend ungeklärt (erstmals 1854 bei B. Riemann klar getrennt). Ansätze zur Überwindung der Dreidimensionalität enhielt die von J. Plücker entwickelte Liniengeometrie (1829), die allerdings in dieser Hinsicht wenig Wirkung entfaltete. Wesentlich einflussreicher wurde die von Riemann 1854 gegebene Definition der allgemeinen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit sowie der aus verschiedenen Ansätzen zur linearen Algebra und analytische Geometrie sich herausbildende Begriff des n-dimensionalen Vektorraums (H. Grassmann, 1844). In der 2. Hälfte des 19. Jahrhunderts wurde die Frage der Überwindung der Dreidimensionalität oft in Zusammenhang mit den erkenntnistheoretischen Problemen der nichteuklidischen Geometrie gebracht. Lange Zeit galten n-dimensionale Räume (n > 3) bloß als bequeme Sprechweise, bei der die geometrischen Begriffe im eigentlichen Sinne zweckentfremdet werden (z. B. bei A. Cayley). Grundlegende Veränderungen ergaben sich hier erst an der Wende zum 20. Jahrhundert mit der Verwendung des vierdimensionalen Raums in der Relativitätstheorie einerseits und mit einem neuen, nicht mehr an Anschaulichkeit gebundenen Grundlagenverständnis der Mathematik andererseits.

 

 2) Philosophie: In der Antike wurde der Raum zunächst endlich gedacht; er ist von mythischem Raum, dem »Apeiron«, umgrenzt, über den man keine Aussagen machen kann. Für Aristoteles beginnt über der Welt des Wechselnden und Vergänglichen die Welt des Unvergänglichen, die Sphäre der Himmelskörper. Erst seit der Renaissance wurde, im Zusammenhang mit der Lehre des N. Kopernikus, durch G. Bruno allmählich die Vorstellung des unendlichen astronomischen Raums vorherrschend, nachdem der Begriff des Unendlichen im Zuge der Entstehung einer christlichen Philosophie eine Aufwertung erfahren hatte. Die griechischen Atomisten (Demokrit) nahmen eine Leere an, in der sich die Atome bewegen, ebenso die Pythagoreer. Später vertraten z. B. P. Gassendi und J. Locke die Vorstellung des leeren Raums. Dagegen ist für Parmenides Sein so viel wie Raumerfüllen, während der leere Raum dem Nichtsein gleichkommt. Auch nach der Vorstellung des christlichen Mittelalter, das an Aristoteles' Anschauung vom Raum als dem Begrenzenden der Körper anknüpfte, kann es keinen leeren Raum geben (Horror Vacui).

 

R. Descartes unterschied als Attribute der Wirklichkeit Denken und Ausdehnung; für ihn fallen Räumlichkeit und Körperlichkeit zusammen. Die Vorstellung eines ruhenden, homogenen, unendlichen Raums, der auch leer sein kann (I. Newton), war lange Zeit die Grundlage der naturwissenschaftlichen Raumauffassung. Der Raum als bloße Erscheinung taucht auf in der Lehre der englischen Empiristen (D. Hume, G. Berkeley). Auch für G. W. Leibniz ist der Raum nur Phänomen, dem die Monaden als immaterielle Kräfte zugrunde liegen; er ist die Ordnung des Koexistierenden, Inbegriff von Beziehungen (Begriff des »relativen Raums«). Für I. Kant sind Raum und Zeit »apriorische Anschauungsformen«; der Raum ist »nichts, sobald wir die Bedingungen der Möglichkeit aller Erfahrung weglassen und ihn als etwas, was den Dingen an sich zugrunde liegt, annehmen«. Nach Kant sind der Raum und seine in den Axiomen der euklidischen Geometrie formulierte Struktur im menschlichen Erkenntnisvermögen verankert; ähnliche Ansichten finden sich in der Phänomenologie des 20. Jahrhunderts wieder, v. a. bei Oskar Becker (* 1889, ✝ 1964).

 

Für die Philosophie des Idealismus und der Romantik gehört der Raum zum »Außer-sich-Sein« des Geistes (G. W. F. Hegel), er ist das »Äußere« oder Extensive gegenüber dem »Inneren« oder Intensiven; für Novalis ist Raum äußere Zeit, für F. W. J. Schelling angehaltene Zeit, während Zeit fließender Raum ist. Die Lebensphilosophie ordnet den Raum dem Verstand zu; er zeige die Welt räumlich, teilbar, messbar, während ihr eigentliches Wesen das Bewusstsein, die unteilbare schöpferische Zeit sei (H. Bergson). Indem die Existenzphilosophie den Menschen als In-der-Welt-Sein und Mit-Sein nimmt, gehören für sie Örtlichkeit und Räumlichkeit in die Grundstruktur des Daseins, während die Zeitlichkeit »der ursprünglich ontologische Grund der Existenzialität des Daseins ist« (M. Heidegger).

 

Der Raumbegriff des logischen Empirismus (R. Carnap, H. Reichenbach u. a.) ist nachhaltig durch die Erkenntnisse der modernen Mathematik und Physik geprägt. Charakteristisch für ihn ist die Verwerfung des kantischen Apriorismus sowie die enge Verknüpfung von Raum und Geometrie.

 

Literatur:

 

R. Carnap: Der R. Ein Beitr. zur Wissenschaftslehre (1922, Nachdr. Vaduz 1978);

 O. Becker: Beitrr. zur phänomenolog. Begründung der Geometrie u. ihrer physikal. Anwendung (²1973);

 A. Grünbaum: Philosophical problems of space and time (Dordrecht ²1973);

 H. Reichenbach: Ges. Werke, Bd. 2: Philosophie der R.-Zeit-Lehre (1977);

 M. Jammer: Das Problem des R. Die Entwicklung der R.-Theorien (a. d. Amerikan., ²1980);

 M. Friedmann: Foundations of space-time theories (Princeton, N. J., 1983);

 J. L. Richards: Mathematical visions. The pursuit of geometry in Victorian England (Boston, Mass., 1988);

 J. Gray: Ideas of space. Euclidean, non-Euclidean, and relativistic (Oxford ²1989).

 

 3) Physik: aus der Geometrie entwickelter, grundlegender Begriff der Physik zur Erfassung der gegenseitigen Anordnung von Körpern und Feldern, der sich als dreidimensionaler physikalischer Raum in der Ausdehnung, der gegenseitigen Lage und den Abständen der in ihn eingebetteten materiellen Objekte manifestiert und durch Messungen mithilfe geeigneter Maßstäbe konkretisiert wird. Die Aufeinanderfolge und Dauer von Bewegungsabläufen und physikalischen Prozessen im Raum drückt sich in der Zeit als ordnendem Parameter aus. Homogenität und Isotropie des Raums implizieren die Erhaltung des Impulses beziehungsweise Drehimpulses (noethersches Theorem).

 

Die Vorstellung eines absoluten Raums in der klassischen Physik geht auf I. Newton zurück (newtonsche Axiome), nach dem der Raum »vermöge seiner Natur und ohne Beziehung auf einen äußeren Gegenstand stets gleich und unbeweglich bleibt«. Danach ist der Raum ein unendliches, euklidisches Kontinuum, das unabhängig von den in ihm befindlichen Dingen und Vorgängen besteht. Mit der Entwicklung der klassischen Feldtheorie wurde im 19. Jahrhundert die später nicht mehr haltbare Hypothese eines den ganzen Raum erfüllenden Äthers als Medium der elektromagnetischen Wellen (v. a. des Lichts) aufgegriffen. Das bevorzugte Inertialsystem, in dem der Äther ruht, wird dabei mit dem absoluten Raum gleichgesetzt.

 

Eine tief greifende Wandlung des Raumbegriffs erfolgte zu Beginn des 20. Jahrhunderts durch die Erkenntniskritik A. Einsteins in der Relativitätstheorie. Die spezielle Relativitätstheorie sagt aus, dass die Ergebnisse von Längen- und Zeitmessungen vom relativen Bewegungszustand des Beobachters bezüglich des Messobjekts abhängen; ein absolutes und daher bevorzugtes Bezugssystem existiert nach ihr nicht, ebenso wenig wie eine absolute Zeit. Raum und Zeit werden unter dem Begriff der Raum-Zeit vereinigt. In der allgemeinen Relativitätstheorie entfällt die Unabhängigkeit des Wesens des Raums und der Zeit von ihrer materiellen Erfüllung; den Massen und ihrer Gravitation entspricht eine von der jeweiligen Materieverteilung abhängige Krümmung der nun nichteuklidische Raum-Zeit. Der Raum kann dabei endlich oder unendlich sein und selbst dynamisches Verhalten wie Expansion oder Kontraktion zeigen (Kosmologie). - Die Quantenphysik schreibt dem leeren Raum (Vakuum) Fluktuationen in Form virtueller Teilchen zu, die z. B. zur Polarisation des Vakuums führen.

 

Für die theoretische Physik von großer Bedeutung sind abstrakte Räume wie die physikalischen Zustandsräume höherer Dimensionen (z. B. der Phasenraum in der statistischen Mechanik), mathematische Vektorräume (z. B. der Hilbert-Raum der quantenmechanischen Zustandsfunktionen) oder die speziellen Darstellungsräume von Symmetriegruppen (z. B. der Isospin-Raum).

 

Literatur:

 

A. Gosztonyi: Der R. Gesch. seiner Probleme in Philosophie u. Wiss.en, 2 Bde. (1976);

 B. Kanitscheider: Vom absoluten R. zur dynam. Geometrie (1976);

 F. Hund: Grundbegriffe der Physik, Tl. 1 (²1979);

 E. Schrödinger: Die Struktur der R.-Zeit (a. d. Engl., 1987, Nachdr. 1993);

 

Philosophie u. Physik der R.-Zeit, hg. v. J. Audretsch u. a. (²1994);

 R. Sexl u. Herbert K. Schmidt: R., Zeit, Relativität (³1996).